જો left( {1 + ax + b{x^2}} right){left( {1 - | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

In the expansion of $\left(1+a x+b x^{2}\right)(1-2 x)^{18},$

Coefficient of $x^{3}$ in $\left(1+a x+b x^{2}\right)(1-2 x)^{18}$

$=$ Coefficient

Vedclass · Accepted Answer

($16$,$\frac{{272}}{3}$)

Vedclass · Answer

In the expansion of $\left(1+a x+b x^{2}ight)(1-2 x)^{18},$

Coefficient of $x^{3}$ in $\left(1+a x+b x^{2}ight)(1-2 x)^{18}$

$=$ Coefficient of $x^{3}$ in $(1-2 x)^{18}$

${+	ext { Coefficient of } x^{2} 	ext { in a }(1-2 x)^{	ext {18 }}}$

${	ext { + Coefficient of } x 	ext { in } b(1-2 x)^{	ext {18 }}}$

$=-^{18} \mathrm{C}_{3} \cdot 2^{3}+\mathrm{a}^{18} \mathrm{C}_{2} \cdot 2^{2}-\mathrm{b}^{18} \mathrm{C}_{1} \cdot 2$

$\because-^{18} C_{3} \cdot 2^{3}+a^{18} C_{2} \cdot 2^{2}-b^{18} C_{1} \cdot 2=0$

$\Rightarrow \frac{18 	imes 17 	imes 16}{3 	imes 2} \cdot 8+a \cdot \frac{18 	imes 17}{2} 2^{2}-b \cdot 18 \cdot 2=0$

$\Rightarrow 17 a-b=\frac{34 	imes 16}{3}..........(i)$

Similarly, coefficient of $x^{4}$

$^{18} \mathrm{C}_{4} \cdot 2^{4}-\mathrm{a} \cdot^{18} \mathrm{C}_{3} 2^{3}+b \cdot^{18} \mathrm{C}_{2} \cdot 2^{2}=0$

$32 a-32 b=240..........(ii)$

On solving Eqs. $(i)$ and $(ii)$, we get

$a=16 	ext { and } b=\frac{272}{3}$

જો $\left( {1 + ax + b{x^2}} \right){\left( {1 - 2x} \right)^{18}}$ ના વિસ્તરણમાં ${x^3}$ અને ${x^4}$ બંનેના સહગુણકો શૂન્ય હોય, તો $ (a,b) =$ ___________.

Similar Questions

${\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^r$ મળે કે જે

${\left( {{x^4} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{15}}$ ના વિસ્તરણમાં ${x^{39}}$ નો સહગુણક મેળવો.

$\left( {1 - \frac{1}{x} + 3{x^5}} \right){\left( {2{x^2} - \frac{1}{x}} \right)^8}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ પર આધારિત ન હોય તેવું પદ મેળવો.

સમીકરણ $(1+x)^{10}+x(1+x)^{9}+x^{2}(1+x)^{8}+\ldots+x^{10}$ માં $x^{7}$ નો સહગુણક મેળવો.